爱因斯坦约束方程共形表述的数值分岔分析

爱因斯坦约束方程的研究已逾五十年。20 世纪 70 年代引入的共形方法作为爱因斯坦方程初始数据的参数化手段，激发了人们对发展约束方程完备解理论的兴趣，其中常平均曲率（CMC）空间切片和闭流形的理论于 1995 年完全建立。首个一般非 CMC 存在性结果由 Holst 等人于 2008 年确立，随后 Holst 等人于 2009 年将其推广至粗糙数据，Maxwell 于 2009 年推广至真空时空。非 CMC 理论在很大程度上仍是开放的；此外，Maxwell 近期关于特定对称模型的工作揭示了在非 CMC 情形下共形方法作为参数化手段存在根本的非唯一性问题。与这些数学发展并行的是，计算物理学家在爱因斯坦约束方程的扩展共形薄夹层表述的数值解中发现了令人惊讶的行为。特别是，数值证据表明存在具有二次折叠的多重解，而近期对一个简化模型的分析支持了这一结论。本文中，我们利用分岔理论和数值同伦方法中的现代技术，系统地考察了这一明显的分岔现象。我们首先回顾了时间对称情形下哈密顿约束中存在分岔的证据。我们简要介绍了分析分岔现象的数学框架，然后阐述了在分岔现象分析中构建数值同伦（或路径跟踪）方法的主要思想。接着，我们将连续软件包 AUTO 应用于此问题，并通过基于同伦的数值方法验证了折叠的存在。