爱因斯坦约束方程共形公式的非唯一解与负Yamabe解之间的一个替代

共形方法在参数化闭三维流形上的爱因斯坦约束方程解方面是有效的。然而，它仍未得到充分理解；例如，在没有所谓的“CMC”或“近CMC”假设的情况下，零或负Yamabe度量的共形方程解的存在性仍然未知。2008年，Holst、Nagy和Tsogtgerel在正Yamabe度量的情况下首次获得了无此类假设的存在性结果，即所谓的“远CMC”情形。然而，他们的结果基于拓扑论证，因此解的唯一性未知。事实上，Maxwell在2011年给出证据表明，在某些情况下远CMC解不是唯一的。在本文中，我们通过为一般的远CMC解建立一种替代定理来提供进一步的见解。对于给定的流形M，它允许一个具有正标量曲率的度量和无共形Killing场的标量平坦度量g(0)，我们首先证明存在一个通过g(0)的解析单参数度量族g(z)，使得R(g(z)) = z。利用这个度量族和给定数据(tau,sigma,rho,j)，我们形成一个单参数算子族F((phi,w),z)，其零点满足共形方程。应用Lyapunov-Schmidt约化，我们确定了一条通过临界点（其中F((phi,w),z)的线性化消失）的F((phi,w),z)=0的解析解曲线。该曲线的正则性、F((phi,w),z)的定义以及Holst等人早期的远CMC结果使我们能够证明以下关于远CMC解的替代定理：要么(1)存在z_1 > 0使得z_1参数化共形方程的正Yamabe解是非唯一的；要么(2)存在z_2 < 0使得z_2参数化共形方程的负Yamabe解存在。