无近CMC条件下闭流形上爱因斯坦约束的粗糙解

我们考虑了 Lichnerowicz 和 York 引入的爱因斯坦约束方程的共形分解，在闭流形上。我们使用对各个哈密顿约束和动量约束的先验估计、哈密顿约束的障碍构造以及拓扑不动点论证的组合，建立了非 CMC 弱解的存在性。这些结果的一个重要新特征是：当重新缩放的背景度规处于正 Yamabe 类时，如果由物质场（如果存在）给出的可自由指定的数据部分以及重新缩放的 extrinsic 曲率的无迹横向部分被取为足够小，则不需要近 CMC 假设。在这种情况下，平均 extrinsic 曲率可以取为任意光滑函数，而对其空间导数的大小没有限制，这似乎是第一个没有近 CMC 假设的非 CMC 存在性结果。标准提升论证以增加共形因子的正则性因弱背景度规的使用而受阻。在 CMC 情况下，我们恢复了 Maxwell 的粗糙解结果作为特例。我们的结果以三种方式扩展了 1996 年 Isenberg 和 Moncrief 的非 CMC 结果：(1) 在正 Yamabe 类的情况下去除了近 CMC 假设；(2) 正则性扩展到背景度规和物质所允许的最大范围；(3) 结果对所有三个 Yamabe 类成立。这一最后的扩展也由 Allen、Clausen 和 Isenberg 最近实现，尽管他们的结果仅限于近 CMC 情况以及更光滑的背景度规和数据。