Schwarzschild 球附近 Bartnik 静态延拓问题的局部适定性

我们建立了任意 Bartnik 数据对 Schwarzschild 空间中任意球体的 {t=0} 切片数据微扰的 Bartnik 静态度量延拓问题的局部适定性。我们的结果特别包括具有任意小平均曲率的球体。我们通过将控制方程表述为测地规范，为该延拓问题引入了一个新框架，该规范将方程化为耦合的椭圆方程与输运方程组。由于椭圆偏微分方程的标准函数空间不适用于输运方程，我们使用了传统用于研究演化方程的某些 Bochner 可测函数空间。在此过程中，我们在这些函数空间中建立了椭圆边值问题解的存在性与唯一性结果，其中椭圆方程被视为演化方程，并通过严格的能量估计证明了可解性。我们识别了在平均曲率非常小时求解 Bartnik 延拓问题的预期困难本质，并在分析中对其进行了恰当处理。