关于一阶准线性方程带非 Lipschitz 源项的 Cauchy 问题的良定性及其应用

我们关注具有非 Lipschitz 源项的第一类准线性方程的 Cauchy 问题的良定性问题，以及多维里奥尔问题解的全局结构。对于初始数据在 $L^\infty$ 空间中的此类准线性方程，当源项 $g(t, x, u)$ 仅对 $u$ 满足右 Lipschitz 条件（不一定是左 Lipschitz 条件）时，我们首先证明了克鲁克OV 熵条件足以保证熵解的良定性。接下来，我们分析具有非 Lipschitz 源项的标量守恒律的全局多维里奥尔解的结构，其中里奥尔型初始数据由由光滑超曲面分隔的两种不同常数状态组成。更具体地，我们构造了具有非自相似结构的全局多维里奥尔解，包括非自相似冲击波和非自相似稀疏波，并证明这两种基本波可由由初始断裂、通量函数以及非 Lipschitz 源项所决定的函数式方程的隐函数来表达。此外，我们发现了两种新的现象：(i) 这些基本波会在有限时间内消失；(ii) 新的稀疏波可包含其内部的某些弱断裂。这些行为与 Lipschitz 源项情况下的两种基本波全局持久且稀疏波内部保持光滑的行为截然不同。最后，我们给出两个例子分别演示了当源项从左非 Lipschitz（必然右 Lipschitz）时里奥尔解的唯一性，以及当源项从右非 Lipschitz 时里奥尔解的非唯一性。