非线性扩散方程 ODE 型解的大时间行为

考虑非线性扩散方程的 Cauchy 问题 \begin{equation} \tag{P} \left\{ \begin{array}{ll} \partial_t u=\Delta u^m+u^\alpha & \quad\mbox{in}\quad{\bf R}^N\times(0,\infty),\\ u(x,0)=\lambda+\varphi(x)>0 & \quad\mbox{in}\quad{\bf R}^N, \end{array} \right. \end{equation} 其中 $m>0$，$\alpha\in(-\infty,1)$，$\lambda>0$ 且 $\varphi\in BC({\bf R}^N)\,\cap\, L^r({\bf R}^N)$，$1\le r<\infty$，$\inf_{x\in{\bf R}^N}\varphi(x)>-\lambda$。则问题 (P) 的正解在 $(0,\infty)$ 中表现得像 ODE $\zeta'=\zeta^\alpha$ 的正解，并且当 $t\to\infty$ 时趋于 $+\infty$。本文中我们得到了该解大时间行为的精确描述，并揭示了该解的行为与非线性扩散方程所具有的扩散效应之间的关系。