一类半线性非齐次 Bernoulli 问题的自由边界

在经典齐次单相 Bernoulli 型问题中，自由边界由“正则”部分和“奇异”部分组成，正如 Alt 和 Caffarelli 在其开创性工作（J. Reine Angew. Math., 325, 105-144, 1981）中所证明的，二维情形下正则点为 $C^{1,\gamma}$。随后，Weiss（J. Geom. Anal., 9, 317-326, 1999）首次意识到在高维存在临界维数 $d^{*}$，使得自由边界的奇异性仅当 $d\geqslant d^{*}$ 时才会出现。本文考虑非齐次半线性单相 Bernoulli 型问题，并证明自由边界是正则集与奇异集的不交并。此外，正则集在局部是某个 $\gamma\in(0,1)$ 的 $C^{1,\gamma}$ 函数的图像。另外，存在临界维数 $d^{*}$ 使得当 $d<d^{*}$ 时奇异集为空，当 $d=d^{*}$ 时为离散集，当 $d>d^{*}$ 时具有局部有限的 $\mathcal{H}^{d-d^{*}}$ Hausdorff 测度。作为推论，我们将非齐次问题粘性解的存在性与 Weiss 边界调整能量相联系，从而为非线性齐次问题粘性解的存在性提供了另一种证明。