关于经典障碍问题自由边界的精细结构

在经典障碍问题中，自由边界可以分解为“正则”点和“奇异”点。正如 Caffarelli 在其开创性论文 \cite{C77,C98} 中所示，正则点由光滑超曲面组成，而奇异点包含在具有不同维数的 $C^1$ 流形的分层并集中。在二维情况下，Weiss \cite{W99} 已将这一 $C^1$ 结果改进为 $C^{1,\alpha}$。在本文中，我们证明了对于 $n=2$，奇异点局部包含在一条 $C^2$ 曲线中。在更高维 $n\ge 3$ 中，我们表明相同的结果对 $C^{1,1}$ 流形（或可数多个 $C^2$ 流形）成立，直至存在一些更高余维的“异常”点。此外，我们证明了高维层总是包含在 $C^{1,\alpha}$ 流形中，从而将 \cite{W99} 中的结果推广到任意维度。我们指出，就接触集的密度衰减估计而言，我们的结果是最优的。此外，对于 $n\ge3$，我们构造了非常对称的解的示例，这些解展现出异常点的线性空间，证明了我们对它们的 Hausdorff 维数的界是尖锐的。