抛物型障碍问题自由边界的逐点正则性

我们研究抛物型障碍问题 $$\lap u-u_t=f\chi_{\{u>0\}}, \quad u\geq 0,\quad f\in L^p \quad \mbox{with}\quad f(0)=1$$ 并得到两个单调性公式，一个适用于一般自由边界点，另一个适用于奇异自由边界点。这些公式用于证明奇异点处的二阶泰勒展开（在逐点Dini条件下），并给出误差估计（在逐点双Dini条件下）。此外，在假设$f$是Dini连续的条件下，我们证明正则点集局部是一个（抛物型）$C^1$曲面，并且奇异点集局部包含在（抛物型）$C^1$流形的并集中。