关于区间上分数阶拉普拉斯算子的内部Bernoulli自由边界问题

我们研究区间 $D$ 上带参数 $\lambda > 0$ 的 $(-\Delta)^{\alpha/2}$ 内部Bernoulli自由边界问题的解的结构。特别地，我们证明存在常数 $\lambda_{\alpha,D} > 0$（称为Bernoulli常数），使得该问题在 $\lambda \in (0,\lambda_{\alpha,D})$ 时无解，在 $\lambda = \lambda_{\alpha,D}$ 时至少有一个解，在 $\lambda > \lambda_{\alpha,D}$ 时至少有两个解。我们还研究了带一个自由边界点的区间上分数阶拉普拉斯算子的内部Bernoulli问题。我们讨论了Bernoulli问题与相关变分问题的联系并给出若干猜想。特别地，对 $\alpha = 1$，我们证明区间上 $(-\Delta)^{\alpha/2}$ 的内部Bernoulli自由边界问题存在不是对应变分问题极小解的解。