线性和非线性抛物方程的全局 Lipschitz 正则化效应

本文证明了在 $(0,T) \times \R^N$ 上，二阶线性和非线性抛物方程粘性解的空间梯度的全局界。我们的假设包括系数无界且仅具有极弱的局部正则性（可能弱于 Dini 连续性）的情形，估计值仅依赖于抛物常数及系数的连续模（而不依赖于其 $L^{\infty}$-范数）。我们的证明为 Priola 和 Wang (J. Funct. Anal. 2006) 在线性情形下获得此类梯度估计所使用的概率证明提供了分析对应物。我们实际上将此类估计推广到了数据和解可能无界的情形，以及包含 Bellman-Isaacs 方程的非线性算子情形。我们研究了经典正则化效应（在 $t>0$ 时）以及从 $t=0$ 开始 Lipschitz 正则性的可能保持，并在系数假设更弱的情况下同样证明了全局 H"older 估计。即使在线性方程系数有界且 H"older 连续的经典情形下，我们为无界数据和解证明的估计似乎也是新的。文中还给出了关于 Liouville 型定理的应用。最后，我们在附录中比较了分析与概率方法，讨论了粘性解的加倍变量法与概率耦合方法之间的类比。