关于临界与超临界赝相对论非线性薛定谔方程

本文研究涉及 $H^{1/2}$-临界/超临界幂型非线性项（即 $p \geq \frac{n+1}{n-1}$）的赝相对论非线性薛定谔方程 $$\left( \sqrt{-c^2\Delta + m^2 c^4}-mc^2\right) u + \mu u = |u|^{p-1}u\quad \textrm{in}~\mathbb{R}^n~(n \geq 2)$$ 非平凡解的存在性与非存在性。我们证明，在非相对论情形下，只要非线性项是 $H^{1/2}$-临界/超临界但为 $H^1$-次临界的，就存在非平凡解。另一方面，我们也证明，在以下两种情况下不存在非平凡有界解：$(i)$ 在超相对论情形下非线性项为 $H^{1/2}$-临界/超临界；或 $(ii)$ 在所有情形下非线性项均为 $H^1$-临界/超临界。