空间-时间分数 SPDE 及其局部 Lipschitz 系数的刚性性

本文研究了空间-时间 SPDE $$\partial_t^\beta u=-(-\Delta)^{\alpha/2} u+I_t^{1-\beta}[b(u)+\sigma(u)\dot{W}],$$ 其中 $u=u(t,x)$ 定义在 $(t,x)\in\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}$ 上，$\beta\in(0,1), \alpha\in(0,2)$，$\dot{W}$ 表示空间-时间白噪声。长期以来，人们 conjectures 此方程在局部 Lipschitz 系数 $b$ 和 $\sigma$ 且线性增长的最小假设下，应具有唯一解且具有有限矩。我们证明，在初始条件 $u_0$ 有界可测、函数 $b$ 和 $\sigma$ 为局部 Lipschitz 且增长不超过线性、且其截断版本的 Lipschitz 常数满足若干条件时，该 SPDE 是 well-posed 的。我们的结果将 Foondun 等人(2025)的工作推广到空间-时间分数情形。