具有完全局部单调系数的随机偏微分方程的适定性

考虑Gelfand三元组$V\subseteq H \subseteq V^*$中具有完全局部单调系数的随机偏微分方程(SPDEs)：\begin{align*} \left\{ \begin{aligned} dX(t) & = A(t,X(t))dt + B(t,X(t))dW(t), \quad t\in (0,T], X(0) & = x\in H, \end{aligned} \right. \end{align*}其中\begin{align*} A: [0,T]\times V \rightarrow V^* , \quad B: [0,T]\times V \rightarrow L_2(U,H) \end{align*}为可测映射，$L_2(U,H)$是从$U$到$H$的Hilbert-Schmidt算子空间，$W$是$U$-柱面Wiener过程。此类SPDEs包含流体动力学等应用领域中许多有趣的模型。本文在完全局部单调性条件下建立了上述SPDEs的适定性，解决了一个长期存在的开放问题。对扩散系数$B(t,\cdot)$的条件允许依赖于$H$-范数和$V$-范数。在经典SPDEs的情形下，这意味着$B(\cdot,\cdot)$也可依赖于解的梯度。适定性通过伪单调性技巧与紧致性论证相结合而获得。