由乘性时空白噪声驱动的随机广义Burgers方程的规律性理论

我们引入了由乘性时空白噪声驱动的半线性随机偏微分方程解的唯一性、存在性、$L_p$-规律性以及极大 Hölder 规律性： $$u_t = au_{xx} + bu_{x} + cu + \bar b|u|^\lambda u_{x} + \sigma(u)\dot W,\quad (t,x)\in(0,\infty)\times\mathbb{R}; \quad u(0,\cdot) = u_0,$$ 其中 $\lambda > 0$。函数 $\sigma(u)$ 在 $u$ 中要么有界 Lipschitz，要么超线性。噪声 $\dot W$ 为时空白噪声。系数 $a,b,c$ 依赖于 $(\omega,t,x)$，$\bar b$ 依赖于 $(\omega,t)$。系数 $a,b,c,\bar{b}$ 一致有界，且 $a$ 满足椭圆性条件。随机初值数据 $u_0 = u_0(\omega,x)$ 非负。我们利用 Hölder 嵌入定理得到极大 Hölder 规律性。例如，若 $\lambda \in(0,1]$ 且 $\sigma(u)$ 在 $u$ 中具有 Lipschitz 连续性、线性增长和有界性，对于 $T<\infty$ 和 $\varepsilon>0$， $$u \in C^{1/4 - \varepsilon,1/2 - \varepsilon}_{t,x}([0,T]\times\mathbb{R})\quad(a.s.).$$ 另一方面，若 $\lambda\in(0,1)$ 且 $\sigma(u) = |u|^{1+\lambda_0}$，其中 $\lambda_0\in[0,1/2)$，对于 $T<\infty$ 和 $\varepsilon>0$， $$u \in C^{\frac{1/2-(\lambda -1/2) \vee \lambda_0}{2} - \varepsilon,1/2-(\lambda -1/2) \vee \lambda_0 - \varepsilon}_{t,x}([0,T]\times\mathbb{R})\quad (a.s.).$$ 需注意，若 $\sigma(u)$ 在 $u$ 中有界 Lipschitz，解的 Hölder 规律性与 $\lambda$ 无关。然而，若 $\sigma(u)$ 在 $u$ 中超线性，解的高 Hölder 规律性受非线性性、$\lambda$ 和 $\lambda_0$ 影响。