由时空白噪声驱动的非线性随机偏微分方程解的边值行为与内部Hölder正则性

我们在加权Sobolev空间中给出方程 $$u_t=(au_{xx}+bu_x+cu)+ \xi |u|^{1+\lambda} {\dot{B}}, \quad\,\, t>0, \, x\in (0,1)$$ 带初值$u(0,\cdot)=u_0$与零边值数据的唯一性与存在性。此处$\lambda\in [0,1/2)$,$\dot{B}$为时空白噪声,系数$a,b,c$与函数$\xi$依赖于$(\omega,t,x)$,初值$u_0$依赖于$(\omega,x)$。更重要的是,我们获得了解的各种内部Hölder正则性与边界行为。例如,若初值处于适当的$L_p$空间,则对任意小$\varepsilon>0$与$T<\infty$,几乎必然 $$\rho^{-1/2-\kappa}u \in C^{\frac{1}{4}-\frac{\kappa}{2}-\varepsilon, \frac{1}{2}-\kappa-\varepsilon}_{t,x}([0,T]\times (0,1)), \quad \forall\, \kappa\in (\lambda, 1/2),$$ 其中$\rho(x)$为$x$到边界的距离。取$\kappa \downarrow \lambda$,可得时间与空间的最大Hölder指数分别为$1/4-\lambda/2-\varepsilon$与$1/2-\lambda-\varepsilon$。又令$\kappa \uparrow 1/2$,可得靠近边界处更好的衰减或行为。