C^{1,1} 开集上非局部椭圆与抛物方程的 Sobolev 正则性理论

我们研究椭圆方程 $$\Delta^{\alpha/2}u-\lambda u=f, \quad x\in D\,; \quad u|_{D^c}=0$$ 以及抛物方程 $$u_t=\Delta^{\alpha/2}u+f, \quad t>0,\, x\in D \,; \quad u(0,\cdot)|_D=u_0, \,u|_{[0,T]\times D^c}=0.$$ 的零外部问题。这里 $\alpha\in (0,2)$，$\lambda \geq 0$，$D$ 是一个 $C^{1,1}$ 开集。我们证明了加权 Sobolev 空间中解的唯一性与存在性，并得到了解及其任意阶导数的整体 Sobolev 与 H\"older 估计。我们使用由到边界距离的适当幂次构成的权函数系来度量解及其任意导数的 Sobolev 与 H\"older 正则性。到边界距离的 admissible 幂次范围是尖锐的。