二阶随机偏微分方程解矩的 $L_p$ 极大正则性估计

我们得到了如下二阶随机偏微分方程 (SPDE) 的解 $u$ 的唯一性与存在性：\begin{align} \label{abs eqn} du= \left( \bar a^{ij}(\omega,t)u_{x^ix^j}+ f \right)dt + g^k dw^k_t, \quad t \in (0,T); \quad u(0,\cdot)=0, \end{align} 其中 $T \in (0,\infty)$，$w^k$ $(k=1,2,\ldots)$ 是独立的 Wiener 过程，$(\bar a^{ij}(\omega,t))$ 是一个（可预测的）非负对称矩阵值随机过程，使得对某个 $\kappa, K \in (0,\infty)$ 有 $$\kappa |\xi|^2 \leq \bar a^{ij}(\omega,t) \xi^i \xi^j \leq K |\xi|^2 \qquad \forall (\omega,t,\xi) \in \Omega \times (0,T) \times {\mathbf{R}}^d$$ $$f \in L_p\left( (0,T) \times {\mathbf{R}}^d, dt \times dx ; L_r(\Omega, {\mathscr{F}} ,dP) \right),$$ 且 $$g, g_x \in L_p\left( (0,T) \times {\mathbf{R}}^d, dt \times dx ; L_r(\Omega, {\mathscr{F}} ,dP; l_2) \right)$$ 其中 $2 \leq r \leq p < \infty$ 并满足适当的可测条件。