退化$p$-Laplacian方程解的正则性

我们证明了方程 $$\operatorname{div}(< AXu,X u>^{(p-2)/2} AX u) = 0,$$ $1<p<\infty$ 的解的正则性结果，其中 $X=(X_1,...,X_m)$ 是满足Hörmander椭圆性条件的向量场族，$A$ 是满足退化椭圆性条件的 $m\times m$ 对称矩阵。如果退化形式为 $$\lambda w(x)^{2/p}|\xi|^2\leq < A(x)\xi,\xi>\leq \Lambda w(x)^{2/p}|\xi|^2,$$ $w \in A_p$，那么我们证明解是局部Hölder连续的。如果退化形式为 $$k(x)^{-2/p'}|\xi|^2\leq < A(x)\xi,\xi>\leq k(x)^{2/p}|\xi|^2,$$ $k\in A_{p'}\cap RH_\tau$，其中 $\tau$ 依赖于齐次维数，那么解几乎处处连续，并且我们给出例子表明这是可能的最佳结果。我们给出了对有限畸变映射的一个应用。