关于线性椭圆方程弱解的 H"oder 正则性的一个注记

在本文中，我们证明了弱解的 H"oder 正则性 $$-\text{div} \mathbb{A}(x)\nabla u = 0 \qquad \text{其中}\quad \mathbb{A}(x)= \mathbb{A}(x)^T \,\, \text{且} \,\, \lambda |\zeta|^2 \leq \langle \mathbb{A}(x)\zeta,\zeta\rangle \leq \Lambda |\zeta|^2,$$ 且 $\mathbb{A}(x) \equiv \mathbb{A}$ 为常数矩阵时 $u \in C^{\alpha}_{\text{loc}}$，其中 $\alpha \geq \frac12 \left(-(n-2) + \sqrt{(n-2)^2 + \frac{4(n-1)\lambda}{\Lambda}} \right)$。这表明 Piccinini - Spagnolo 构造的例子在常数矩阵 $\mathbb{A}(x) \equiv \mathbb{A}$ 的类别中是尖锐的。H"oder 正则性的证明并不通过振荡减少类型论证，而是通过单调公式实现。在一般矩阵 $\mathbb{A}(x)$ 的情况下，我们在某些额外假设下获得相同的正则性。