$\mathbb{R}^d\times\mathbb{T}$ 上非线性波方程的偏零条件与整体光滑解（$d=2,3$）

本文分别研究乘积空间 $\mathbb{R}^3\times\mathbb{T}$ 上具二次非线性的完全非线性波方程，以及 $\mathbb{R}^2\times\mathbb{T}$ 上具三次非线性的完全非线性波方程。结果表明，对于满足一定空间无穷远衰减率的小初值，当相应的偏零条件成立时这些非线性方程允许整体光滑解，而当偏零条件被破坏时具有几乎整体光滑解。我们的证明依赖于解关于周期方向的 Fourier 模分解、对线性波方程与线性 Klein-Gordon 方程解的时间衰减估计的有效结合，以及全局加权能量估计。此外，引入了一个有趣的辅助能量。作为副产品，我们的结果可应用于 $\mathbb{R}^3\times\mathbb{T}$ 上多方气体或 Chaplygin 气体的 4 维无旋可压缩 Euler 方程、$\mathbb{R}^2\times\mathbb{T}$ 上的 3 维相对论膜方程与 3 维非线性膜方程。