具有高度奇异反对称初值的带吸收非线性热方程解的大时间行为

本文研究带吸收的非线性热方程 $u_t - \Delta u + |u|^\alpha u =0$ 的全局适定性与大时间渐近行为，其中 $u=u(t,x)\in {\mathbb R},$ $(t,x)\in (0,\infty)\times{\mathbb R}^N$ 且 $\alpha>0$。我们特别关注关于变量 $x_1,\; x_2,\; \cdots,\; x_m$（对某个 $m\in \{1,2, \cdots, N\}$）高度奇异且反对称的初值，例如 $u_0 = (-1)^m\partial_1\partial_2 \cdots \partial_m|\cdot|^{-\gamma} \in {{\mathcal S'({\mathbb R}^N)}}$， $0 < \gamma < N$。事实上，对于任意 $\alpha>0$，我们证明了对于以适当意义被 $u_0$ 界住的初数据具有全局适定性。我们的方法是研究形如 $\Omega_m = \{x \in {{\mathbb R}^N} : x_1, \cdots, x_m > 0\}$ 的扇形域上的适定性与大时间行为，然后通过反射将结果推广到 ${{\mathbb R}^N}$ 上反对称的解。我们证明了大时间行为依赖于 $\alpha$ 与 $2/(\gamma+m)$ 之间的关系，并考虑了所有三种情形：$\alpha$ 等于、大于和小于 $2/(\gamma+m)$。我们的结果包含但不限于自相似与渐近自相似解的新例子。