具有吸收项和有界初值的非局部扩散方程的大时间行为：次临界情形

本文继续研究具有吸收项的非局部扩散方程有界解的大时间行为：\begin{align} \begin{cases} u_t = \mathcal{L} u-u^p\quad& \mbox{in}\quad \mathbb R^N\times(0,\infty),\ u(x,0) = u_0(x)\quad& \mbox{in}\quad \mathbb R^N, \end{cases} \end{align} 其中 $p>1$，$u_0\ge0$ 且有界，且 $$\mathcal{L} u(x,t)=\int J(x-y)\left(u(y,t)-u(x,t)\right)\,dy$$ 其中 $J\in C_0^{\infty}(\mathbb R^N)$，径向对称，$J\geq 0$ 且 $\int J=1$。我们对初值的假设是 $0\le u_0\in L^\infty(\mathbb R^N)$ 且 $$|x|^{\alpha}u_0(x)\to A>0\quad\mbox{as}\quad|x|\to\infty.$$ 该问题已在超临界和临界情形 $p\ge 1+2/\alpha$ 中得到研究。%另见 \cite{PR,TW2} 关于 $u_0\in L^\infty(\mathbb R^N)\cap L^1(\mathbb R^N)$，$p\ge 1+2/N$ 的情形。在本文中，我们研究次临界情形 $1<p<1+2/\alpha$。更一般地，我们考虑有界非负初值使得 $$|x|^{\frac2{p-1}}u_0(x)\to\infty\quad\mbox{as}\quad |x|\to \infty$$ 并证明 $$t^{\frac1{p-1}} u(x,t)\to\Big(\frac1{p-1}\Big)^{\frac1{p-1}}\quad\mbox{as}\quad t\to\infty$$ 在 $|x|\le k\sqrt t$ 上一致成立，其中任意 $k>0$。