具有负扩散率的反应扩散方程的解析激波前沿解

反应扩散方程（RDEs）根据扩散和净局部变化对密度场 $u(\vec{x},t)$ 的时空演化建模。通常，扩散率对所有 $u$ 值为正，导致密度弥散。然而，具有部分负扩散率的 RDEs 可模拟聚集，这在某些情形下是更受青睐的行为。本文考虑一个具有二次扩散率 $D(u) = (u - a)(u - b)$ 的非线性 RDE，该扩散率在 $u\in(a,b)$ 时为负。我们利用非经典对称构造了解析的后退含时解、碰撞波解和后退行波解。这些解是多值的，我们通过插入激波将其转为单值解。我们考察了这些解析解的性质，包括其类 Stefan 边界条件，并进行了相平面分析。我们还研究了 $u = 0$ 和 $u = 1$ 常数解的光谱稳定性，并证明对特定 $a$ 和 $b$，后退行波是光谱稳定的。此外，我们引入了一种新的激波条件，其中扩散率和通量在激波处连续。对于关于其零点中点对称的扩散率，该条件重现了著名的等面积规则，但对于非对称扩散率则导致不同的激波位置。