极快扩散方程 Dirichlet 解的收敛性

对于任意 $-1<m<0$, $\mu>0$, $0\le u_0\in L^{\infty}(R)$ 使得对所有 $|x|\ge R_0$ 及某些常数 $R_0>1$ 和 $0<\mu_0\leq \mu$ 满足 $u_0(x)\le (\mu_0 |m||x|)^{\frac{1}{m}}$，以及满足在 $[0,\infty)$ 上 $f(t),\, g(t) \geq \mu_0$ 的 $f,\,g \in C([0,\infty))$，我们证明：当 $R\to\infty$ 时，定义在 $(-R,R)\times (0,\infty)$ 上满足 $u_t=(u^m/m)_{xx}$、对所有 $t>0$ 满足 $u(R,t)=(f(t)|m|R)^{1/m}$ 与 $u(-R,t)=(g(t)|m|R)^{1/m}$、在 $(-R,R)$ 内满足 $u(x,0)=u_0(x)$ 的 Dirichlet 问题解 $u^R$，在 $R\times (0,T)$ 的每个紧子集上一致收敛于方程 $u_t=(u^m/m)_{xx}$ 在 $R\times (0,\infty)$ 上满足 $u(x,0)=u_0(x)$（在 $R$ 内）的解，且该解对所有 $0<t<T$ 满足 $\int_Ru(x,t)\,dx=\int_Ru_0dx-\int_0^t(f(s)+g(s))\,ds$，其中 $\int_0^T(f+g)\,ds=\int_Ru_0dx$。我们还证明了所构造的解等于 [Hu3] 中利用有界柱状域上相应 Neumann 问题的解作逼近所构造的解。