流形上Loewner-Nirenberg问题的两种流方法

我们引入带边界的紧致黎曼流形 $(M^n,g)$ 上Loewner--Nirenberg问题的两种流方法，并确立相应Cauchy--Dirichlet问题到Loewner--Nirenberg问题解的收敛性。特别地，当初始数据 $u_0\in C^{4,\alpha}(M)$ 为方程 $(1.1)$ 的解或严格下解时，直接流 $(1.3)-(1.5)$ 与Yamabe流 $(1.10)$ 均收敛。此外，当背景度量满足 $R_g\geq0$ 时，直接流对任意正初始数据 $u_0\in C^{2,\alpha}(M)$ 收敛；而对于共形拉普拉斯 $L_g$ 的Dirichlet问题第一特征值 $\lambda_1<0$ 的情形，当 $u_0>v_0$ 时收敛，其中 $v_0$ 为 $(1.1)$ 的齐次Dirichlet边值问题的最大解，且 $v_0>0$ 于 $M^{\circ}$ ($M$ 的内部)。我们还给出了 $(M,g)$ 共形类中正数量曲率度量的存在性与 $\displaystyle\inf_{u\in C^1(M),\,u\not\equiv 0\,\text{on}\,\partial M}Q(u)>-\infty$ 的等价描述，其中 $Q$ 为第二类Escobar-Yamabe问题的能量泛函(见 $(1.8)$)。