薛定谔算子的 Morse 指数与 Maslov 指数

我们利用无限维辛几何的工具研究具有矩阵值势的薛定谔算子的谱。利用抽象边界值空间，我们推导了希尔伯特空间上一族算子的 Morse 指数与 Maslov 指数之间的关系，该族算子是通过用光滑的有界自伴算子族扰动给定的自伴算子而获得的。抽象结果被应用于具有准周期、Dirichlet 和 Neumann 边界条件的薛定谔算子。特别是，我们推导了具有周期势的多维薛定谔算子的 Morse-Smale 指数定理的类比。对于 $\mathbb{R}^n$ 中的准凸域，我们利用域边界上的 Dirichlet 和 Neumann 迹重新表述了连接 Morse 指数和 Maslov 指数的结果。