非局部项对 $\mathbb{R}^{N}$ 中超线性 Kirchhoff 型方程的影响

我们关注 $\mathbb{R}^{N}$ 中的一类 Kirchhoff 型方程如下：\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} -M\left( \int_{\mathbb{R}^{N}}|\nabla u|^{2}dx\right) \Delta u+\lambda V\left( x\right) u=f(x,u) & \text{in }\mathbb{R}^{N}, \\ u\in H^{1}(\mathbb{R}^{N}), & \end{array}% \right. \end{equation*}% 其中 $N\geq 1,$ $\lambda>0$ 为参数，$M(t)=am(t)+b$ 且 $a,b>0$，$m\in C(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R}^{+})$，$V\in C(\mathbb{R}^{N},\mathbb{R}^{+})$ 且 $f\in C(\mathbb{R}^{N}\times \mathbb{R}, \mathbb{R})$ 满足对任意 $2<k<2^{\ast}$（当 $N=1,2$ 时 $2^{\ast}=\infty$，当 $N\geq 3$ 时 $2^{\ast}=2N/(N-2)$）一致地有 $\lim_{|u|\rightarrow \infty }f(x,u) /|u|^{k-1}=q(x)$ 于 $x\in \mathbb{R}^{N}$。与多数其他关于此问题的论文不同，我们更感兴趣于函数 $m$ 和 $q$ 对解的个数与行为的影响。利用极小极大法以及 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式，我们得到了上述问题正解的存在性与多解性。