关于 $\mathbb{R}^N$ 中的四阶半正问题

对于 $N \geq 5$ 和 $a>0$，我们考虑如下半正问题 \begin{align*} \Delta^2 u= g(x)f_a(u) \text { in } \mathbb{R}^N, \, \text{ and } \, u \in \mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N),\ \ \ \qquad \quad \mathrm{(SP)} \end{align*} 其中 $g \in L^1_{loc}(\mathbb{R}^N)$ 是一个不定权函数，$f_a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 是一个连续函数，满足对于 $t \in \mathbb{R}^-$ 有 $f_a(t)=-a$，且 $\mathcal{D}^{2,2}(\mathbb{R}^N)$ 是 $\mathcal{C}_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$ 关于 $(\int_{\mathbb{R}^N} (\Delta u)^2)^{1/2}$ 的完备化。对于满足次临界非线性和较弱 Ambrosetti-Rabinowitz 型增长条件的 $f_a$，我们找到 $a_1>0$ 使得对每个 $a \in (0,a_1)$，(SP) 存在一个山路解。进一步，我们证明当 $a$ 接近于零时山路解为正的。对于正性，我们依赖双调和算子的 Riesz 势，推导了 (SP) 的解在 $(0,a_1)$ 中某些区间上的一致正则性估计。