非局部椭圆型算子的多重解

本文研究了Servadei和Valdinoci在文献[1]中提出的一类问题：\n\n\begin{equation}\label{prob_0} \left\{\begin{aligned} -\mathcal{L}_{K} u(x)-\lambda u(x) & =f(x,u), \text{ for } x\in \Omega; u & =0 \quad \text{ in } \mathbb{R}^{N}\backslash\Omega, \end{aligned} \right\end{equation}\n\n其中，$\Omega\subset \mathbb{R}^{N}$为具有Lipschitz边界的开放有界集，$\lambda\in\mathbb{R}$，$f\in C^{1}(\overline{\Omega}\times\mathbb{R},\mathbb{R})$，且满足$f(x,0) = 0$。$\mathcal{L}_K$为具有齐次Dirichlet边界条件的非局部积分微分算子。通过计算问题(1)在原点及无穷处处的能量泛函的临界群，我们证明当$\lambda < \lambda_1$时，问题(\ref{prob_0})有三个非平凡解；当$\lambda\geqslant\lambda_1$时，问题有两个非平凡解，其中$\lambda_1$为算子$-\mathcal{L}_K$的第一特征值。最后，假设非线性项$f$关于第二个变量为奇函数，我们证明当$\lambda\geqslant\lambda_1$时，问题(1)存在一序列无界弱解。我们采用变分方法和无限维Morse理论来获得上述结果。