一维非线性薛定谔方程中支持表面间隙孤子基态的界面

我们考虑验证一维非线性薛定谔方程在两个周期结构界面处存在$H^1$基态的问题：$$-u" +V(x)u -\lambda u = \Gamma(x) |u|^{p-1}u \ {on} \R$$ 其中$V(x) = V_1(x), \Gamma(x)=\Gamma_1(x)$ 对于$x\geq 0$，$V(x) = V_2(x), \Gamma(x)=\Gamma_2(x)$ 对于$x<0$。这里$V_1,V_2,\Gamma_1,\Gamma_2$是周期的，$\lambda <\min\sigma(-\tfrac{d^2}{dx^2}+V)$，且$p>1$。文章[T. Dohnal, M. Plum and W. Reichel, "Surface Gap Soliton Ground States for the Nonlinear Schr\odinger Equation," \textit{Comm. Math. Phys.} \textbf{308}, 511-542 (2011)]在一维情形下给出了一个存在性判据，该判据是一个涉及线性势$V_{1},V_2$以及算子$-\tfrac{d^2}{dx^2}+V_{1,2}-\lambda$的Bloch波的积分不等式。我们在此选择分段常数和分段线性势$V_{1,2}$的类别，并针对一组参数值检验该判据。在分段常数情形下，Bloch波被显式计算；在分段线性情形下，通过数值计算验证了Bloch波的包含关系。判据中的积分通过区间算术评估，从而产生严格的存在性陈述。报告了支持基态的界面示例，包括那些对于所有满足$\esssup \Gamma_{1,2}>0$的周期$\Gamma_{1,2}$都成立基态存在的例子。