$\mathcal{C}^1$ 区域上具有 Robin 边界条件的椭圆算子的一致 $W^{1,p}$ 估计

我们考虑 $\mathcal{C}^1$ 区域 $\Omega$ 中的 Robin 边值问题 $\mathrm{div} (A \nabla u) = \mathrm{div} \mathbf{f}+F$，边界 $\Gamma$ 上满足 $(A \nabla u - \mathbf{f})\cdot \mathbf{n} + \alpha u = g$，其中矩阵 $A$ 属于 $VMO (\mathbb{R}^3)$，并得到了 $\|u\|_{W^{1,p}(\Omega)}$ 的一致估计，其中 $1 < p < \infty$，且独立于 $\alpha$。与更简单的 $p = 2$ 情形不同，此处我们运用了弱反向 Hölder 不等式。这些估计表明，当参数 $\alpha$ 趋于 $\infty$（相应地 $0$）时，Robin 问题的解在相应空间中强收敛于 Dirichlet（相应地 Neumann）问题的解。