α-SQG 斑块问题在 $C^{2,\beta}$ 与 $W^{2,p}$ 中是不适定的

我们考虑 $\alpha$-SQG 系统的斑块问题，其中 $\alpha=0$ 与 $\alpha=\frac{1}{2}$ 分别对应二维 Euler 方程与 SQG 方程。众所周知，Euler 斑块在非端点 $C^{k,\beta}$ Hölder 空间以及 $W^{2,p}$（$1<p<\infty$）空间中是全局适定的。与 Euler 情形形成鲜明对比的是，我们证明了对于 $0<\alpha<\frac{1}{2}$，$\alpha$-SQG 斑块问题在\emph{每一个} $\beta<1$ 的 $C^{2,\beta}$ Hölder 空间中都是强不适定的。此外，在适当的正则性范围内，同样的强不适定性对\emph{每一个} $W^{2,p}$ Sobolev 空间成立，除非 $p=2$。