$C^{2}$ 涡斑的不适定性

众所周知，当 $0<\alpha <1$ 时，涡斑在 $C^{1,\alpha}$ 中是适定的。本文中，我们证明了 $C^{2}$ 涡斑的不适定性。我们的设定是在 Sobolev 空间 $W^{2,p}$ 中考虑涡斑，其中边界的曲率为 $L^p$ 可积。在此设定下，我们证明了当 $1<p <\infty$ 时 $W^{2,p}$ 正则性的保持性，并构造了 $C^{2}$ 初始斑块数据，使得当 $t>0$ 时斑块边界的曲率立即变为无界。关键要素是曲率的演化方程，其中主导项被证明是线性和色散的。