$C^1$ 涡旋斑块的尖锐局部适定性

众所周知，涡旋斑块的边界动力学在Hölder空间 $C^{1,\alpha}$（其中 $0<\alpha<1$）中是全局适定的，而在 $C^1$ 中的适定性，即使是局部的，也仍然是一个悬而未决的问题。在本文中，我们通过满足某些结构性假设的连续模 $\varphi$ 定义的空间 $C^{1,\varphi}$，建立了涡旋斑块的局部适定性。我们的类包含严格比Hölder连续曲线更粗糙的曲线，其典型例子是 $\varphi(r) = (-\log r)^{-s}$，其中 $s>3$。鉴于轮廓动力学方程中的速度算子是Hilbert变换的非线性变体，我们研究了曲线参数化 $\gamma \in C^{1,\varphi}$ 及其Hilbert变换所满足的方程组。在此过程中，我们推导了Hilbert变换及其变体在临界空间中的若干性质，这些性质对于控制速度算子及其Hilbert变换至关重要。