广义 SQG 斑块的局部存在性与爆破

我们研究由参数 alpha（0 < alpha < 2）给出的一族输运方程的斑块解，其中 alpha = 0 和 alpha = 1 分别对应 Euler 方程和表面准地转方程。在本文中，利用若干新的消去项，我们给出以下新结果。首先，对于 0 < alpha < 1/3，我们证明了半空间情形下 H^{2} 斑块的局部适定性，允许其与固定边界自相交。此外，我们能够将 \cite{KYZ} 和 \cite{KRYZ} 中已证明有限时间奇点存在的 alpha 范围加以扩展。其次，我们确立：只要弧弦条件以及阶为 C^{1+delta}（delta > alpha/2）的正则性关于时间可积，斑块在 0 < alpha < 2 下保持正则。该有限时间奇点判据所要求的正则性低于 \cite{CFMR} 和 \cite{ScottDritschel} 中表面准地转斑块数值模拟所展示的正则性，其中轮廓曲率在数值上发生爆破。这是首个证明奇点判据正则性低于或等于数值模拟中正则性的结果。最后，我们还改进了 \cite{G} 和 \cite{CCCGW} 中的结果，给出了 0 < alpha < 1 时 H^{2} 斑块以及 1 < alpha < 2 时 H^3 斑块的局部适定性。