半平面上广义 SQG 方程的局部正则性与有限时间奇性

我们证明，带 $\alpha\in(0,\frac 14]$ 的广义 SQG 方程在半平面上的有界可积解空间中是局部适定的，这些空间对其在有边界区域上的动力学是自然的，并允许解的导数在边界法向具有一定幂次增长。我们还证明了在整体局部适定参数区间 $\alpha\in(0,\frac 14]$ 内存在呈现有限时间爆破的解，这是此类方程（而非斑块模型）的首个有限时间奇性结果。此外，我们通过证明当 $\alpha>\frac 14$ 时该 PDE 在上述所有空间中不适定，证明了这两个结果的最优性。