Ohkitani 模型的适定性及表面准地转方程的长时存在性

我们考虑由 Ohkitani 引入的对数奇异表面准地转（SQG）方程的柯西问题，$$\partial_t \theta - \nabla^\perp \log(10+(-\Delta)^{\frac12})\theta \cdot \nabla \theta = 0 ,$$ 并在 Sobolev 指数随时间递减的函数空间中建立光滑解的局部存在性与唯一性。这种 Sobolev 指数的递减是必要的，因为我们在 companion paper 中已证明该问题在任何固定 Sobolev 空间中都是强不适定的。当存在严格强于 log 的耗散项时，Sobolev 指数的时间依赖性可被去除。这些结果改进了 Chae、Constantin、C\'{o}rdoba、Gancedo 和 Wu 在 \cite{CCCGW} 中的适定性结论。该适定性结果可用于描述 $\delta$-SQG 方程的长时动力学，其定义为 $$\partial_t \theta + \nabla^\perp (10+(-\Delta)^{\frac12})^{-\delta}\theta \cdot \nabla \theta = 0,$$ 对所有依赖于初值大小的足够小 $\delta>0$ 成立。对同一 $\delta$ 范围，我们建立了其对数耗散对应方程的光滑解的整体适定性：$$\partial_t \theta + \nabla^\perp (10+(-\Delta)^{\frac12})^{-\delta}\theta \cdot \nabla \theta + \log(10+(-\Delta)^{\frac12})\theta = 0.$$