广义-SQG方程在Sobolev空间中的强不可约性与不存在性

广义表面准大气动力学方程是由下式定义的标量传输方程：\begin{equation*} \frac{\partial \theta}{\partial t}+v^\gamma_1 \frac{\partial \theta}{\partial x_1}+v^\gamma_2 \frac{\partial \theta}{\partial x_2} =0 , \end{equation*}其中速度由下式定义：\begin{equation*} v^\gamma=\nabla^{\perp} \psi_\gamma=\left(\partial_{2} \psi_\gamma,-\partial_{1} \psi_\gamma \right), \quad \psi_\gamma=-\Lambda^{-1+\gamma} \theta, \end{equation*}且$\theta(\cdot,0)=\theta_0(\cdot)$为初始条件。我们考虑参数$\gamma \in (-1,1)$，非局部算子$\Lambda^{\alpha}=(-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}$在傅里叶空间由$\widehat{\Lambda^{\alpha} f}(\xi)=|\xi|^{\alpha} \widehat{f}(\xi)$定义。该PDE在Sobolev空间$H^s$中当$s>2+\gamma$时是可解的。在本文中，我们证明了在超临界 regime $H^\beta$ 中的强不可约性，其中$\beta\in [1,2+\gamma)\cap(\frac{3}{2}+\gamma,2+\gamma)$。为此，我们推导了一个可由称为伪解的函数族求解的近似PDE，这些伪解允许我们控制真实解的范数。利用这一结果和黏合技巧，我们也证明了在相同的Sobolev空间中解的不存在性。由于伪解可以控制真实解，我们可以构建一个初始在$H^{\beta}$中且瞬时离开它的解。然而，该解存在较长时间且在高阶可解性类中保持唯一的经典解。