论临界正则性设定下主动标量方程的局部存在性

本文研究主动标量方程 $\partial_t \theta + u\cdot \nabla \theta =0$ 的局部适定性，其中 $u = - \nabla^\perp(-\Delta)^{-1+\beta/2}\theta$。Sobolev空间 $H^{1+\beta+\epsilon}$（其中 $\epsilon>0$ 且 $\beta \in (1,2)$）中解的局部存在性最近已在 \cite{HKZ} 中得到解决。临界情形 $\epsilon =0$ 仍然悬而未决。本文使用一种不同的技术，证明了在 Besov 空间 $B^{1+\beta}_{2,1}$（其中 $\beta \in (1,2)$）中的局部适定性。证明基于输运方程的对数 Lipschitz 估计。