$\mathbf{R^{1+1}}$ 中二次 Schrödinger 方程的局部适定性：一种正规形式方法

对于 Schrödinger 方程 $u_t+i u_{xx}=\nab^\be[u^2]$，其中 $\be\in (0,1/2)$，我们在 $H^{\be-1+}$ 中建立了局部适定性（注意，若 $\be=0$，这匹配了 Bejenaru-Tao 的尖锐结果，\cite{BT}，直至端点）。我们的方法与以往方法显著不同，在于我们使用正规形式变换来分析非线性中最差的相互作用项，然后证明剩余项（远）更光滑。特别地，这使我们能够得出结论 $u-e^{-i t \p_x^2} u(0)\in H^{-\f{1}{2}}(\rone)$，即使 $u(0)\in H^{\be-1+}$。此外，作为我们正规形式分析的副产品，我们获得了解算子（最初作用于 $H^{\be-1+}$）在 $H^{-\f{1}{2}}$ 中的 Lipschitz 连续性，这即使在 $\be=0$ 的情况下也是新的。作为一个简单推论，我们得到了 $u_t+ i u_{xx} = [\nab^{\beta} u]^2$ 的局部适定性结果。最后，我们概述了一种方法，以获得方程 $u_t+i u_{xx}=\nab^\be[u\bar{u}]$ 和 $u_t+i u_{xx}=\nab^\be[\bar{u}^2]$ 的类似陈述。