通过退化色散看具有奇异速度的广义表面准地转方程的不适定性

我们证明了广义 SQG 方程 $$\partial_t \theta + \nabla^\perp \Gamma[\theta] \cdot \nabla \theta = 0$$ 在任意充分正则的 Sobolev 空间中的强非线性不适定性，其中 $\Gamma$ 在符号满足 $|\Gamma(\xi)|\to\infty$（当 $|\xi|\to\infty$）的意义下是奇异的，并带有一些温和的正则性假设。关键机制是退化色散，即解的频率围绕某些剪切态的快速生长；我们方法的鲁棒性使得只要耗散阶低于 $\Gamma$ 的阶，就能将线性和非线性不适定性推广到分数耗散系统。鉴于各种已有的适定性结论以及我们姊妹论文中的结论，我们的不适定性结果是完全尖锐的。证明的关键在于对一类线性方程的退化波包的新颖构造 $$\partial_t \phi + ip(t,X,D)\phi = 0$$ 其中 $p(t,X,D)$ 是在 $L^2$ 中自伴、退化且色散的伪微分算子。退化波包是上述线性方程在空间与频率支撑集中于 $(X(t),\Xi(t))$ 的近似解，而 $(X(t),\Xi(t))$ 是对应于 $p(t,x,\xi)$ 的双侧特征 ODE 系统的解。这些波包在 $X(t)$ 逼近 $p$ 为零的点时显式展现出退化，这尤其允许我们在比 $L^2$ 更细的拓扑中证明不适定性。虽然波包的方程可由符号在 $\xi=\Xi(t)$ 附近的泰勒展开形式得到，但困难部分是在足够长时间尺度上严格控误差，这通过对不仅退化波包而且误差估计中自然出现的振荡积分的尖锐估计获得。