色散方程的不适定性：退化色散与 Takeuchi–Mizohata 条件

我们针对一维空间色散方程的两种不适定性机制——退化色散与（不满足）Takeuchi–Mizohata 条件——提供了统一视角。我们的方法基于作者此前在 Hall 磁流体力学背景下引入的鲁棒能量与对偶性方法。具体地，本文主要结果涉及多种拟线性退化 Schr"odinger 型和 KdV 型方程（包括 Hunter–Smothers 方程、Rosenau–Hyman 的 $K(m, n)$ 模型以及无黏表面生长模型）在高正则 Sobolev 空间中 Cauchy 问题的强不适定性（例如解映射的不存在性与无界性）。这些结果背后的机制可理解为两种效应的结合：退化色散——即主项在系数退化时的性质——以及由 Takeuchi–Mizohata 条件支配的振幅演化——其关乎次主项。我们还展示了相同技术如何给出 Mizohata 关于具有失败 Takeuchi–Mizohata 条件的线性变系数 Schr"odinger 方程经典 $L^{2}$-不适定性结果的更定量版本。