关于广义表面准地转方程适定性的注记

本文关注广义表面准地转（SQG）方程的柯西问题，其中速度场表示为$u=K\ast\omega$，这里$\omega=\omega(x,t)$是未知函数，$K(x)=\frac{x^\perp}{|x|^{2+2\alpha}}, 0\le\alpha\le \frac12.$ 当$\alpha=0$时，它是二维欧拉方程。当$\alpha=\frac 12$时，它对应于无粘SQG。我们将证明：如果对于某个$0<\alpha_0\le\frac12$，广义SQG光滑解的存在区间是$[0,T]$，那么在相同初始数据下，对于接近$\alpha_0$的$\alpha$，广义SQG的存在区间仍保持为$[0,T]$。作为副产品，我们的结果表明，与[Kiselev et al 2016]中呈现的奇异性相比，对于$\alpha>0$的广义SQG，其柯西问题光滑解可能奇点的构造将是微妙的。为了证明主要结果，我们将处理两个解之间的差异以及奇异积分的逼近。本文还将给出关于奇异积分和交换子估计的一些关于$\alpha$的新的一致估计。