具有奇异速度的广义表面准地转方程

本文针对由标量通过非常奇异积分确定速度场的两类活性标量方程，建立了若干存在性和唯一性结果。第一类是广义表面准地转(SQG)方程，其速度场$u$与标量$\theta$的关系为$u=\nabla^\perp\Lambda^{\beta-2}\theta$，其中$1<\beta\le 2$，$\Lambda=(-\Delta)^{1/2}$是Zygmund算子。边界情形$\beta=1$对应于SQG方程，而$\beta>1$时情况更为奇异。我们得到了经典解的局部存在性和唯一性、弱解的整体存在性以及斑块型解的局部存在性。第二类是耗散活性标量方程，其中$u=\nabla^\perp (\log(I-\Delta))^\mu\theta$，$\mu>0$，其速度至少比第一类方程中的速度对数意义上更奇异。我们证明，对于任意给定的光滑初值，具有任意分数阶耗散的该族方程存在唯一的局部光滑解。关于第二类的这一结果，是朝着解决K. Ohkitani \cite{Oh}近期提出的整体正则性问题迈出的第一步。