广义表面准地形动力学方程的齐次稳态解

我们考察广义表面准地形动力学（gSQG）方程的齐次（stationary self-similar）解，其参数化常数 $0<s<1$，分别代表 2D Euler 方程（$s=1$）、SQG 方程（$s=1/2$）和 stationary 方程（$s=0$）；即，流函数 $\psi$ 和 advected 标量 $\omega$ 的形式为 \begin{align*} \psi=\frac{w(\theta)}{r^{\beta}},\quad \omega=\frac{g(\theta)}{r^{\beta+2s}}, \end{align*} 以极坐标 $(r,\theta)$ 表示，参数 $\beta\in \mathbb{R}$。我们在完整参数空间中对齐次稳态解进行分类，并识别在假设奇对称轮廓 $(w,g)$ 且傅里叶模大于 $m_0\geq 1$ 的情况下出现的极限奇异规模。具体而言，我们证明在 $-m_0-2s<\beta<-2s$ 且 $0<\beta<m_0+2$（$0<s<1/2$ 时为 $1/2-s<\beta< m_0+2$）时存在此类解，而在 $-2s\leq \beta\leq 0$ 时不存在此类解。主要结果提供了自相似解的示例，这些解属于 gSQG 方程 $0<s<1$ 的临界和超临界规模的 local well-posedness 以及 SQG 方程和更奇异方程 $0<s\leq 1/2$ 在 stationary 设置下的第一个自相似解示例。我们还通过数值图示补充了这些发现。