广义无粘表面准地转方程的行波与旋转解

对于广义表面准地转方程 $$\left\{ \begin{aligned} & \partial_t \theta+u\cdot \nabla \theta=0, \quad \text{in } \mathbb{R}^2 \times (0,T), \ & u=\nabla^\perp \psi, \quad \psi = (-\Delta)^{-s}\theta \quad \text{in } \mathbb{R}^2 \times (0,T) , \end{aligned} \right.$$ $0<s<1$，我们考虑对 $k\ge1$ 寻找一族 $k$ 涡解 $\theta_\varepsilon(x,t)$，使得当 $\varepsilon\to 0$ 时 $$\theta_\varepsilon(x,t) \rightharpoonup \sum_{j=1}^k m_j\delta(x-\xi_j(t))$$ 对应于涡旋的合适轨迹 $x=\xi_j(t)$。我们在涡旋沿一轴以恒定速度行进或绕原点以相同速度旋转的特例中找到了此类解。在这些情况下，问题被化为一个分数阶椭圆方程，并采用奇异摄动方法处理。我们构造中的一个关键要素是证明所谓分数阶等离子体问题 $$(-\Delta)^sW = (W-1)^\gamma_+, \quad \text{in } \mathbb{R}^2, \quad 1<\gamma < \frac{1+s}{1-s}$$ 的径向基态的非退化性，其存在性与唯一性最近已在 \cite{chan_uniqueness_2020} 中被证明。