修正 SQG 斑块方程的有限时间奇点形成

众所周知，二维不可压缩 Euler 方程具有全局正则解。无粘表面准地转（SQG）方程的 Biot-Savart 律比 Euler 情形少一阶导数的正则性，其解的全局正则性问题仍然悬而未决。我们在此研究半平面上的一族主动标量的斑块动力学，该族方程通过出现在其 Biot-Savart 律核中的参数 $\alpha\in[0,\frac 12]$ 在这两个方程之间进行插值。$\alpha=0$ 和 $\alpha=\frac 12$ 分别对应于 2D Euler 和 SQG 情形。我们证明了 2D Euler 斑块模型的时间全局正则性，即使斑块初始时接触半平面的边界。另一方面，对于任意充分小的 $\alpha>0$，我们给出了导致有限时间奇点的初始数据。因此，这些结果表明这些方程的解行为存在相变，并为将 2D Euler 方程归类为临界方程提供了严格基础。