三维水重力波理论中的小除数问题

我们考虑无限深理想流体表面上的双周期行波,其仅受重力 $g$ 作用,并源于两个简周期行波以夹角 $2\theta$ 相互作用的非线性叠加。\newline 记 $\mu =gL/c^{2}$ 为无量纲分岔参数($L$ 为沿行波方向的波长,$c$ 为波速),分岔在 $\mu =\cos \theta$ 处发生。对于非共振情形,我们首先给出一大族形式上的三维重力行波,以两个基本行波振幅的幂级数展开形式表示。“菱形波”是此类波在关于传播方向对称时的特例。\newline \emph{本文的主要目标是证明}具有上述渐近展开式的此类对称波的存在性。由于\emph{小除数的出现},主要困难在于在非线性意义下非平凡点处线性化算子的反演,以应用 Nash-Moser 定理。该算子为沿某方向的二阶微分与一阶积分微分算子之和,二者均周期依赖于坐标。我们证明了对于几乎所有角度 $\theta$,三维行波在分岔参数平面内 $(\theta ,\mu )$ 靠近分岔曲线处一组具有渐近满测度的“好”参数值集合上发生分岔。