高维平均曲率流中古代卵形线的刚性

本文考虑任意维数超曲面紧致非坍塌平均曲率流的分类。更精确地说，我们研究$\mathbb{R}^{n+1}$中的$k$-卵形线，定义为古代非坍塌解，其在$-\infty$处的切流由$\mathbb{R}^k \times S^{n-k}((2(n-k)|t|)^{\frac{1}{2}})$给出，其中$k \in \{1,\dots,n-1\}$，且其精细圆柱矩阵满秩。Choi和Haslhofer最近取得的重要进展表明，收缩$n$-球面和$k$-卵形线共同构成了$\mathbb{R}^{n+1}$中所有紧致古代非坍塌解。我们证明$k$-卵形线具有$\mathbb{Z}^{k}_2 \times \mathrm{O}(n+1-k)$对称性，并由$(k-1)$维谱比参数唯一确定。鉴于Du和Haslhofer构造的$\mathbb{Z}^{k}_2 \times \mathrm{O}(n+1-k)$对称古代卵形线的$(k-1)$参数族，以及Angenent、Daskalopoulos和Sesum关于古代解模空间的猜想，这一结果是尖锐的。我们还建立了一个新的谱稳定性定理，该定理表明$k$-卵形线的模空间在时空刚体运动和抛物缩放下具有局部$(k-1)$-可整流性。与Choi、Daskalopoulos、Du、Haslhofer和Sesum解决的$\mathbb{R}^4$中$2$-卵形线的情况相比，任意$k$和$n$的一般情况提出了超越代数复杂性增加的新挑战。特别是，环带区域的二次凹性估计以及缺乏具有正则性信息的全局参数化构成了主要障碍。为了解决这些困难，我们引入了一个新的测试张量，为张量最大值原理产生必要的梯度项，并通过参数化具有几乎匹配谱比参数的$k$-卵形线，推导出一个局部Lipschitz连续性结果。